0是不是自然数(小学数学中自然数的定义)

作者 | 李开周

来源 | 节选自《武侠数学》的序言,李开周著,化学工业出版社。

就人类整体而言,思想是不断进步的,后人的认识通常会超越前人,我们对零的认识也是如此。20 世纪 70 年代或 80 年代开始读书的朋友必定都记得,当时的数学课讲自然数,都从 1 开始,1 是最小的自然数。现在的孩子上小学,数学老师却会告诉他们,最小的自然数是0。短短几十年,从“零不是自然数”到“零是最小的自然数”,人们的认识又有了一个飞跃。

零是数字,零是整数,我们受过基础教育,觉得这些认识都很自然。零居然是自然数,这个认识就显得不那么自然。我们平常数数,数某种事物有多少,不都是从1 开始吗?没见过从0 开始数的。如果哪位指着一堆苹果开始数:“0、1、2、3、4……”大概会有人觉得他不正常。

1889 年,意大利数学家朱塞佩·皮亚诺(Giuseppe Peano,1858 年—1932 年) 提出五条公理,可用文字描述如下:

公理 1:1 是自然数;

公理 2:每个确定的自然数 a,后面都有一个确定的相邻数 a′,a′也是自然数;

公理 3:1 不是任何自然数后面的相邻数;

公理 4:不同自然数拥有不同的相邻数;

公理 5:任意关于自然数的命题,如果能证明该命题对 1 为真,并且它对自然数 a 为真时可证明它对 a′也为真,那么这个命题就对所有自然数为真。

这五条公理称为“皮亚诺公理”,其中第一条、第三条和第五条公理,都不假思索地认定 1 是最小的自然数。将皮亚诺公理运用于当时的数学体系,严丝合缝,堪称数学大厦的一块基石。

皮亚诺为数学大厦提供基石的同时,别的数学家也在为数学大厦添砖加瓦。19 世纪末,就在皮亚诺提出五条公理不久以后,数学的一大分支“群论”发展到关键时期,一些数学家用群论这把利器重新解剖整数和自然数,发现了一个非常危险的破绽:如果不把零放进自然数群,整数群就会变得不完整。所以,为了能让数学体系互不矛盾、自成逻辑,为了保证整个数学大厦固若金汤、坚不可摧, 这些数学家就让零加入自然数家族,成为最小的自然数。

进入 20 世纪,有的数学教材把零当成自然数,有的数学教材坚持零不是自然数,时间越往后,认可零是自然数的教材就越多。在欧美数学界,主流意见都认为零是自然数。所以在 1993 年,中国国家技术监督局修订“量和单位”的国家标准,规定零是自然数。于是乎,我们的数学教材随之修改。于是乎,00 后新生代在零的认识上与国际接轨,70 后与 80 后家长被甩在后面。于是乎,爸爸妈妈们辅导小朋友数学作业时,会有这样的对话:

“宝贝,最小的自然数是 1,你这道题写错了。”

“没有错,老师今天刚讲过,零也是自然数!”

家长不信,一查教材,果然!大惑不解:“咦,是不是印错了?”而看过本书的爸爸妈妈就不会有这样的困惑。

在本章最后,让我们再温习几点关于零的知识。

  • 最小的自然数是0 不是1;
  • 最小的个位数是1 不是0;
  • 0 不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数;
  • 0 是偶数;
  • 0 不是质数,也不是合数;
  • 任何数加减0,值不变;
  • 任何数与0 相乘,积为0;
  • 任何不是0 的数的0 次方都是1;
  • 0 不能作除数,任何数除以0,都没有数学意义;
  • 0 是十进制位值数中唯一的占位符,表示该数位为空;
  • 0 可以表示起点,例如直尺的起点刻度线都是0;
  • 0 可以用于编号,例如001、002……
  • 0 可以表示界限,例如0 度以上、0 度以下……
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