相遇问题的常见4种情形(小学数学专题训练:相遇问题)

1.通过实际演示,理解“相向运动” “相遇” 及“速度和”。

2.掌握相向运动中求路程的解题方法:速度和×时间=路程。

3.培养学生认真审题的好习惯。会解决与此有关的含两、三步计算的实际问题。

4.培养学生分析和解答问题的能力。

一:使学生掌握相向运动中秋路程的解题方法。

二:理解“速度和”。

例1.甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行,甲船每小时行驶18千米,乙船每小时行驶15千米,经过6小时两船在途中相遇.两地间的水路长多少千米?

解析:要求两地间的水路长多少千米,先求出甲船与乙船的速度和,再用速度和乘相遇时间,问题即可解决.

解:(18+15)×6,

=33×6,

=198(千米);

答案:两地间的水路长198千米.

例2.一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发,汽车每小时行40千米,摩托车每小时行50千米.8小时后两车相距多少千米?

解析:此题四种情况:(1)两车相向而行,8小时后两车之间的距离等于甲乙两地距离减去两车行的路程;

(2)背向而行,8小时后两车之间的距离等于甲乙两地距离加上两车行的路程;

(3)摩托车追汽车,两地距离减去8小时摩托车追汽车的距离即两车距离;

(4)汽车追摩托车,两地距离加上8小时汽车追摩托车之间的距离,即两车距离.

解:(1)相向而行.

900﹣(40+50)×8,

=900﹣720,

=180(千米);

(2)背向而行.

900+(50+40)×8,

=900+720,

=1620(千米);

答:8小时后两车相距1620千米.

(3)摩托车追汽车.

900﹣(50﹣40)×8,

=900﹣80,

=820(千米);

答:8小时后两车相距820千米.

(4)骑车追摩托车.

900+(50﹣40)×8,

=900+80,

=980(千米);

答:8小时后两车相距980千米.

例3.甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发,相向而行,已知甲车从A城到B城需6小时,乙车从B城到A城需12小时.两车出发后多少小时相遇?

解析:根据题意,利用路程÷速度=时间,求出甲乙两车的速度,再根据相遇时间=总路程÷速度和,即可解决.

解:甲的速度:480÷6=80(千米/小时),

乙的速度:480÷12=40(千米/小时),

相遇时间:480÷(80+40)=4(小时);

答案:两车出发后4小时相遇.

例4.王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行,王欣每分钟行110米,陆亮每分钟行90米.如果一只狗与王欣同时同向而行,每分钟行500米,遇到陆亮后,立即回头向王欣跑去;遇到王欣后再回头向陆亮跑去.这样不断来回,直到王欣和陆亮相遇为止,狗共行了多少米?

解析:根据题意可知:狗与主人是同时行走的,不管狗在两人中间跑多少趟,在两人遇到之前,狗一直在跑,狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间,根据题意便可求出王欣和陆亮相遇用了多长时间,再用狗的速度×相遇的时间即可求出狗共行了多少米.

解:根据题意可求出王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间:

2000÷(110+90),

=2000÷200,

=10(分),

狗共行:500×10=5000(米);

答案:狗共行了5000米.

例5.甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行.一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络.甲队每小时行5千米,乙队每小时行4千米.两队相遇时,骑自行车的同学共行多少千米?

解析:根据路程÷速度和=相遇时间可知,两人相遇时共行了18÷(4+5)=2小时,在这两小时中,这名骑自行车的学生始终在运动,所以两队相遇时,骑自行车的学生共行:15×2=30千米.

解:18÷(4+5)×15

=18÷9×15,

=30(千米).

答案:两队相遇时,骑自行车的学生共行30千米.

例6.A、B两地相距400千米,甲、乙两车同时从两地相对开出,甲车每小时行38千米,乙车每小时行行42千米,一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去,遇到乙车又折回向甲车飞去,这样一直飞,燕子飞了多少千米,两车才能相遇?

解析:要求燕子飞了多少千米,就要知道燕子飞行所用的时间和燕子的速度,燕子的速度是每小时50千米,关键的问题是求出燕子飞行所用的时间,燕子飞行的时间就是甲乙两车的相遇时间,甲乙两车的相遇时间是400÷(38+42)=5(小时),求燕子飞了多少千米,列式为50×5,计算即可.解:燕子飞行的时间就是甲乙两车的相遇时间,即:

400÷(38+42),

=400÷80,

=5(小时);

燕子飞行的距离:

50×5=250(千米);

答案:燕子飞了250千米两车才能相遇.

A档

1.甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行,甲队每小时行60千米,乙队每小时行50千米.一个人骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络,问两车队相遇时,摩托车行驶了多少千米?

解析:

首先理清:反复行走的摩托车走的时间等于两队的相遇时间.相遇时间:330÷(60+50)=3(小时).骑摩托车走了:80×3=240(千米).

解:330÷(60+50)×80

=3×80,

=240(千米).

答案:摩托车行驶了240千米.

2.甲每小时行7千米,乙每小时行5千米,两人于同一地方同时相背而行,一个向东,一个向西,5小时后两人相隔多少千米?

解析:由题意,两人相背而行,速度和为每小时7+5=12(千米),那么5小时后两人相隔12×5=60(千米),解决问题.

解:(7+5)×5

=12×5

=60(千米).

答案:5小时后两人相隔60千米.

3.一条环形跑道长400米,小强每分钟跑300米,小星每分钟跑250米,两人同时同地同向出发,经过多长时间小强第一次追上小星?

解析:小强第一次追上小星时,小强行驶的路程比小星多环形跑道一圈的长度400米,因为小强比小星每分钟多跑300﹣250=50米,由此即可列式计算.

解:400÷(300﹣250),

=400÷50,

=8(分钟);

答案:经过8分钟小强第一次追上小星.

4.光明小学有一条长200米的环形跑道,亮亮和晶晶同时从起跑线起跑.亮亮每秒跑6米,晶晶每秒跑4米,问:亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米?

解析:由于是环形跑道,当亮亮第一次追上晶晶时,亮亮正好比晶晶多跑一周,两人的速度差为每秒6﹣4=2米,则亮亮第一次追上晶晶用时200÷2=100秒.则此时亮亮跑了100×6=600米,则晶晶跑了600﹣200=400米.

解:200÷(6﹣4)×6

=200÷2×6,

=600(米);

600﹣200=400(米)

答案:亮亮第一次追上晶晶时亮亮跑了600米,晶晶跑了400米.

B 档

1.甲每小时行17千米,乙每小时行24千米,两人于同一地方同时相背而行,一个向东,一个向西,几小时后两人相隔164千米?

解析:求几小时后两人相隔164千米,就是几小时后甲和乙行了164千米,根据时间=路程÷速度(甲的速度+乙的速度),即可解答.

解:164÷(17+24),

=164÷41,

=4(小时);

答案:4小时后两人相隔164千米.

2.甲、乙两人绕周长1540米的环形广场竞走,已知甲每分钟走160米,乙的速度是甲的3倍.现在甲在乙后面260米,乙追上甲需要多少分钟?

解析:甲每分钟走160米,乙的速度是甲的3倍,则乙的速度为160×3=480米/分钟,所以两人的速度差为480﹣160=320米/分钟,现在甲在乙后面260米,由于是在环形广场上竞走,则乙和甲的距离差为1540﹣260=1280米,所以乙追上甲需要1280÷320=4分钟.

解:(1540﹣260)÷(160×3﹣160)

=1280÷(480﹣160)

=1280÷320

=4(分钟);

答案:乙追上甲需要4分钟.

3.甲每小时行10千米,乙每小时行12千米,两人于同一地方同时相背而行,一个向南,一个向北,几小时后两人相隔88千米?

解析:求几小时后两人相隔88千米千米,就是几小时后甲和乙行了88千米,根据时间=路程÷速度(甲的速度+乙的速度),即可解答.

解:88÷(10+12),

=88÷22,

=4(小时);

答案:4小时后两人相隔88千米.

4.甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行,甲列车每小时行85千米,乙列车每小时行90千米,几小时两列火车相遇?

解析:已知两地相距的路程及两车的速度,所以根据:路程÷速度和=相遇时间进行解答

解:700÷(85+90)

=700÷175,

=4(小时).

答案:4小时后两列火车相遇.

5.两列火车从两个车站同时相向出发,甲车每小时行48千米,乙车每小时行78千米,经过2.5小时两车相遇.两个车站之间的铁路长多少千米?

解析:已知两车速度及相遇时间,据相遇问题的基本关系式:速度和×相遇时间=路程进行解答;

解:(48+78)×2.5

=126×2.5,

=315(千米);

答案:两个车站之间的铁路长315千米.

C档

1.师徒两人合作加工520个零件,师傅每小时加工30个,徒弟每小时加工20个,几小时以后还有70个零件没有加工?

解析:此题先求出师徒两人要合作加工的零件,再根据关系式:工作总量÷工作效率之和=工作时间。

解:(520﹣70)÷(30+20),

=450÷50,

=9(小时);

答案:9小时以后还有70个零件没有加工.

2.甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行,8小时两船还相距22千米.已知乙船每小时行42千米,甲船每小时行多少千米?

解析:先求出乙船8小时所行驶的路程,从而可求甲船8小时所行驶的路程,再据路程、速度、时间之间的关系解答即可.

解:(654﹣22﹣42×8)÷8,

=296÷8,

=37(千米).

答案:甲船每小时行37千米.

3.一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发,相向而行,3小时后两车相遇.已知汽车每小时比自行车多行31.5千米,求汽车、自行车的速度各是多少?

解析:由题意,可求出汽车与自行车的速度和为172.5÷3=57.5千米/小时,那么汽车速度为(57.5+31.5)÷2=89÷2=44.5千米/小时,自行车的速度就好求了.

解:①172.5÷3=57.5(千米/小时);

②(57.5+31.5)÷2,

=89÷2,

=44.5(千米/小时);

③44.5﹣31.5=13(千米/小时).

答案:汽车、自行车的速度分别是44.5千米/小时、13千米/小时.

4.两地相距270千米,甲、乙两列火车同时从两地相对开出,经过4小时相遇.已知甲车的速度是乙车的1.5倍,求甲、乙两列火车每小时各行多少千米?

解析:根据路程÷相遇时间=速度和,求出甲、乙两车的速度和,再按和倍问题的知识,即可分别求出甲、乙两车的速度.

解:速度和:270÷4=67.5(千米),

乙车速度:67.5÷(1+1.5)=27(千米),

甲车速度:67.5﹣27=40.5(千米)

答案:甲、乙两列火车每小时各行40.5千米、27千米.

5.甲、乙两城相距680千米,从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米,2小时后,快车从乙城开往甲城,每小时行80千米,快车开出几小时后两车相遇?

解析:如图所示:总路程减去普通车2小时行驶的路程,除以两车的速度之和,即为两车相遇所需要的时间.

相遇问题的常见4种情形(小学数学专题训练:相遇问题)

解:(680﹣60×2)÷(60+80),

=(680﹣120)÷140,

=560÷140,

=4(小时)

答案:快车开出4小时后两车相遇.

练习:

1.A、B两地相距3300米,甲、乙两人同时从两地相对而行,甲每分钟走82米,乙每分钟走83米,已经行了15分钟,还要行多少分钟才可以相遇?

解析:本题已知两地相距路程及两人速度,所以先据路程÷速度和=相遇时间求出相遇时间之后,再减去已行的时间,就是还需要多少时间相遇.

解:3300÷(82+83)﹣15

=3300÷165﹣15,

=20﹣15,

=5(分钟)

答案:还要行5分钟才能相遇.

2.甲、乙两列汽车同时从两地出发,相向而行.已知甲车每小时行45千米,乙车每小时行32千米,相遇时甲车比乙车多行52千米.求甲乙两地相距多少千米?

解析:用甲车比乙车多行的路程除以两车的速度差,求出两车相遇时间,然后再乘速度和,即可求出两地的距离.

解:52÷(45﹣32)×(45+32),

=52÷13×77,

=308(千米).

答案:甲乙两地相距308千米.

3.姐妹俩同时从家里到少年宫,路程全长770米.妹妹步行每分钟行60米,姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回,途中与妹妹相遇.这时妹妹走了几分钟?

解析:姐姐返回,在途中与妹妹相遇”时,她们共走了2个全程,所以相遇时间为770×2÷(60+160)=7(分钟).因为二人都没有停下,所以妹妹也走了7分钟.

解:770×2÷(60+160),

=1540÷220,

=7(分).

答案:妹妹走了7分钟.

小明和小华从甲、乙两地同时出发,相向而行.小明步行每分钟走60米,小华骑自行车每分钟行190米,几分钟后两人在距中点650米处相遇?

解析:由两人在距中点650米处相遇可知,此时小华比小明多行了650×2=1300(千米),然后据多行路程÷速度差=时间进行解答即可.

解:650×2÷(190﹣60)

=1300÷130,

=10(分钟)

答案:10分钟后两人在距中点650米处相遇.

2.A、B两地相距300千米,两辆汽车同时从两地出发,相向而行.各自达到目的地后又立即返回,经过8小时后它们第二次相遇.已知甲车每小时行45千米,乙车每小时行多少千米?

解析:由于它们相向而行,各自达到目的地后又立即返回,他们应是在快车返回A地后又在去B地的路上和返回A地的慢车相遇,所以相遇时他们行了3个全程即300×3=900(千米),已知相遇时间为8小时,甲车每小时行45千米,所以两车的速度和为900÷8﹣45.

解:300×3÷8﹣45,

=112.5﹣45,

=67.5(千米).

答案:乙车每小时行67.5千米.

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